Ghid de teoria probabilitatilor si aplicatii

   Editura Infarom                                                                                                                                   EN


Sub egida


Society for Industrial and Applied Mathematics

si


Mathematical Association of America

 

Vizitati-ne pe Facebook



   Fiecare dintre noi foloseste cuvantul “probabil” in limbajul curent de cateva ori pe zi, atunci cand se refera la posibilitatea ca un anumit eveniment sa se intample.  Indiferent daca avem sau nu cunostintele matematice necesare, estimam si comparam frecvent probabilitati, uneori fara sa ne dam seama, in special atunci cand luam decizii. Dar probabilitatile nu sunt numai niste simple numere atasate obiectiv sau subiectiv evenimentelor, asa cum ar parea la prima vedere, iar calculul si utilizarea lor sunt foarte predispuse la erori calitative sau cantitative, in absenta unor cunostinte adecvate.
   Acest site ste o scurta introducere in Fundamentele Teoriei Probabilitatilor si a Calculului Probabilistic, avand scopul de a ajuta persoanele fara o formatie matematica avansata sa efectueze si sa aplice calculul probabilistic fara profesor si sa le stimuleze in a aprofunda notiunile intalnite.

   

   Despre probabilitate
  
In spatele cuvantului probabilitate, care in vorbirea curenta reprezinta un anumit grad de incredere subiectiv in producerea unui eveniment, se afla un intreg ansamblu conceptual dezvoltat de teoria probabilitatilor. Mai mult, conceptul de probabilitate are implicatii filozofice si psihologice majore, precum si numeroase interpretari. Insa niciuna din interpretarile sale nu poate face abstractie de definitia matematica.
   "Numim probabilitate a unui eveniment raportul dintre numarul situatiilor favorabile pentru ca evenimentul sa se produca si numarul tuturor situatiilor egal posibile." Aceasta este definitia simplista pe care o stie oricine si care reprezinta definitia probabilitatii pe un camp finit de evenimente.
   Teoria probabilitatilor extinde aceasta definitie pe o multime de evenimente mai complexa (sigma-camp de evenimente), inzestrata cu o anumita structura matematica, si defineste pe aceasta multime o functie cu anumite proprietati. Aceasta functie - numita probabilitate - este de fapt o masura pe un camp de evenimente, cu valori in intervalul [0, 1].  Puteti afla mai multe despre aceste notiuni in sectiunile matematice ale acestui site.  


Blaise Pascal
(1623 - 1662)


James Bernoulli (1654-1705)


Thomas Bayes (1702 - 1761)

Pierre Laplace (1749 - 1827)


Antoine Cournot (1801 - 1877)


Pafnuty Chebyshev (1821 - 1894)

 

   Teoria probabilitatilor
  
Initial, teoria probabilitatilor a avut ca origine modelul reprezentat de jocurile de noroc, in special in Franta secolului al XVII-lea, fiind inaugurata de corespondenta dintre Fermat si Pascal. Axiomatizarea sa completa a trebuit să astepte insă lucrarea lui Kolmogorov Fundamentele teoriei probabilitatilor, publicata in 1933. Cu timpul, teoria probabilitatilor a gasit multiple modele in natura, devenind o ramura a matematicii cu aplicatii din ce in ce mai numeroase. In fizica, teoria probabilitatilor a devenit un instrument de calcul de baza, odata cu crearea termodinamicii si, mai tarziu, a fizicii cuantice.
 
 
S-a constatat ca, in lumea inconjuratoare, fenomenele deterministe ocupa doar o mica parte. Imensa majoritate a fenomenelor din natura si societate sunt stochastice (aleatoare, modelabile probabilistic si statistic). Studiul acestora nu poate fi facut pe cale determinista si, de aceea, stiinta hazardului a aparut ca o necesitate.

   Teoria probabilitatilor studiaza legile după care evolueaza fenomenele aleatoare. Iata cateva exemple de fenomene aleatoare:
   1. 
Cel mai simplu exemplu este dat de experimentul care consta in aruncarea zarului, rezultatul experimentului fiind dat de cifra aratată de zar la oprire. Repetand experimentul de un numar de ori, nu putem prevedea care va fi cifra aratata de zar dupa fiecare aruncare, deoarece aceasta depinde de multi factori intamplatori (impulsul initial al zarului, pozitia lui in momentul aruncarii, particularitatile suprafetei pe care se rostogoleste, etc.)

   2.  O persoana face zilnic drumul intre casa si locul de munca. Timpul drumului nu este constant, ci prezinta variatii datorate

factorilor intamplatori (trafic, conditii meteo, etc.)

   3.  Nu se poate prevedea numarul de rateuri la un anumit numar de trageri asupra unei tinte.
   4. 
Nu stim dinainte care vor fi numerele ce se vor extrage la loto.
  
In aceste experimente, conditiile esentiale ale experimentului raman neschimbate. Toate variatiile au loc datorita unor factori secundari, care influentează rezultatul experimentului.
Din multitudinea factorilor care intervin in fenomenele studiate, ii vom selectiona pe cei decisivi si vom neglija influenta factorilor secundari. Aceasta metoda este uzuala in studiul fenomenelor fizice, mecanice si in aplicatii tehnice. Intamplarea si complexitatea, multitudinea cauzelor care intervin, conduc la metode speciale de studiere a fenomenelor aleatoare, metode elaborate de teoria probabilitatilor.
  
Aplicarea matematicii la studierea fenomenelor aleatoare se bazeaza pe faptul ca, prin repetarea de mai multe ori a unui experiment, in conditii practic identice, frecventa relativa a aparitiei unui anumit rezultat (raportul dintre numarul experimentelor in care apare rezultatul si numarul tuturor experimentelor efectuate) este aproximativ acelasi, osciland in jurul unui numar constant. Daca acest lucru se intampla, atunci unui eveniment dat ii putem asocia un numar, anume probabilitatea sa. Aceasta legatura intre structura unui camp de evenimente si numar este o reflectare in matematica a transferului calitatii in cantitate. Problema convertirii in numar a unui camp de evenimente revine la a defini o functie numerica pe aceasta structura, care sa fie o masura a posibilitatilor de realizare a evenimentelor. Realizarea unui eveniment fiind probabila, aceasta functie se numeste probabilitate.

   Teoria probabilitatilor se poate aplica numai acelor fenomene care prezinta o anumita stabilitate a frecventelor relative in jurul probabilitatii (fenomene omogene de masa). Aceasta este baza legaturii teoriei probabilitatilor cu lumea reala, cu practica de toate zilele. Deci, definitia stiintifica a probabilitatii trebuie sa reflecte, in primul rand, comportarea reala a fenomenului.  Probabilitatea nu este expresia gradului subiectiv de incredere a omului in producerea evenimentului, ci caracterizarea legaturii obiectiv existente intre conditii si eveniment, intre cauza si efect. Probabilitatea unui eveniment are sens atata timp cat ansamblul de conditii ramane neschimbat, orice modificare a acestor conditii atragand dupa sine modificarea probabilitatii si deci modificarea legii statistice a fenomenului.
  
Practic nu exista domenii stiintifice in care teoria probabilitatilor sa nu fie aplicata. De asemenea, sociologia foloseste calculul probabilistic drept instrument principal. Mai mult, unele domenii comerciale se bazeaza pe probabilitati (printre altele, asigurari, pariuri, cazinouri).
 

   Calculul probabilistic
   Efectuarea unui calcul probabilistic inseamna a gasi probabilitatea numerica a unui eveniment, prin aplicarea proprietatilor probabilitatii si operarea calculelor pentru parametrii specifici aplicatiei sau problemei respective.
   Nu trebuie sa fiti matematician si nu trebuie sa aprofundati notiunile teoriei probabilitatilor pentru a putea efectua calcule probabilistice pentru aplicatii finite. Abilitatile de calcul probabilistic pot fi dezvoltate prin procedee algoritmice. Singurele lucruri care trebuie stiute dinainte sunt principalele definitii si un set de formule. Si abilitatile de calcul combinatoric sunt binevenite. In afara acestor cunostinte minime de teoria probabilitatilor si combinatorica, singura cerinta pentru rezolvitorul care nu este matematician este aceea de a stapani bine cele patru operatii cu numere reale si calculul algebric de baza.
   Teoretic, orice problema de calcul probabilistic, oricat de complexa ar fi, poate fi descompusa in aplicatii succesive elementare care utilizeaza formule de baza, insă de cele mai multe ori finalizarea calculului poate fi anevoioasa sau chiar practic imposibila, ca sa nu mai vorbim de riscul crescut al aparitiei greselilor in cadrul unei succesiuni foarte lungi de calcule. Utilizarea combinatoricii sau chiar a repartitiilor probabilistice clasice pot rezolva de multe ori in mod simplu si elegant astfel de probleme in care rezolvarea "pas cu pas" este prea anevoioasa si supusa erorilor de calcul.

   Fiecare solutie a unei aplicatii probabilistice se supune unui algoritm de baza, care asigura in linii mari corectitudinea incadrării si abordarii problemei de calcul, precum si a aplicarii rezultatelor teoretice. Chiar daca metodele de rezolvare ale unei probleme pot fi multiple, orice procedeu este aplicat in baza acestui algoritm general, care este valabil pentru orice aplicatie probabilistica de tip finit sau discret. Algoritmul de rezolvare cuprinde trei etape principale: incadrarea problemei (stabilirea campului de probabilitate asociat experimentului, prin definirea textuala a evenimentelor de masurat), stabilirea procedeului teoretic (alegerea metodei de lucru, selectarea formulelor care urmează a fi folosite) si calculul propriu-zis (calcul aritmetic sau combinatoric si aplicarea formulelor). 
   Asa cum am mentionat, calculul probabilistic a fost dezvoltat pentru a raspunde intrebarilor asupra fenomenelor aleatoare, inclusiv in jocurile de noroc. Pentru ceea ce pare sa fie cel mai popular domeniu recreativ din zilele noastre, anume jocurile de noroc (in special jocuri ca poker, ruleta, blackjack, sloturi sau loto), teoria probabilitatilor a devenit o necesitate incontestabila.

          

 

 Resurse

Vizitati sectiunea Carti pentru recomandari de carti bune pentru cititorii de nivel mediu, care prezinta conceptul de probabilitate, interpretarile si aplicatiile sale. Aceste carti ajuta cititorul sa inteleaga ce inseamna de fapt probabilitatea, il invata sa efectueze corect calcule probabilistice, chiar si fara o formatie matematica solida, si il stimuleaza pentru aprofundarea notiunilor intalnite. Veti gasi material didactic de la A la Z pentru teoria probabilitatilor, iar persoana practica va gasi toate instrumentele necesare pentru efectuarea de calcul probabilistic fara profesor. Puteti de asemenea naviga prin sectiunile acestui site pentru fundamentele teoriei probabilitatilor si aplicatii, inlclusiv in jocurile de noroc.

 


Andrei Markov
(1856 - 1922)


Emile Borel
(1871 - 1956)


Richard von Mises(1883 - 1953)


Andrei N. Kolmogorov
(1903 - 1987)

 

   Vizitati-ne pe Facebook 
Copyright 2005 - 2013 INFAROM