
Sub egida

Society for Industrial and Applied Mathematics
si

Mathematical Association of America
|

Vizitati-ne pe Facebook |



|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fiecare dintre noi foloseste cuvantul “probabil” in
limbajul curent de cateva ori pe zi, atunci cand se refera la
posibilitatea ca un anumit eveniment sa se intample.
Indiferent daca avem sau nu cunostintele matematice
necesare, estimam si comparam frecvent probabilitati, uneori fara sa ne
dam seama, in special atunci cand luam decizii. Dar probabilitatile nu
sunt numai niste simple numere atasate obiectiv sau subiectiv
evenimentelor, asa cum ar parea la prima vedere, iar calculul si utilizarea
lor sunt foarte predispuse la erori calitative sau cantitative, in
absenta unor cunostinte adecvate.
Acest site ste o scurta introducere in Fundamentele Teoriei
Probabilitatilor si a Calculului Probabilistic, avand scopul de a ajuta
persoanele fara o formatie matematica avansata sa efectueze si sa aplice
calculul probabilistic fara profesor si sa le stimuleze in a aprofunda
notiunile intalnite. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Despre
probabilitate
In spatele cuvantului probabilitate,
care in vorbirea curenta reprezinta un anumit grad de incredere
subiectiv in producerea unui eveniment, se afla un intreg ansamblu
conceptual dezvoltat de teoria probabilitatilor.
Mai mult, conceptul de probabilitate are implicatii filozofice si
psihologice majore, precum si numeroase interpretari. Insa niciuna
din interpretarile sale nu poate face abstractie de definitia matematica.
"Numim probabilitate a unui eveniment raportul dintre
numarul situatiilor favorabile pentru ca evenimentul sa se produca si
numarul tuturor situatiilor egal posibile." Aceasta este
definitia simplista pe care o stie oricine si care reprezinta definitia
probabilitatii pe un camp finit de evenimente.
Teoria probabilitatilor extinde aceasta definitie pe o
multime de evenimente mai complexa (sigma-camp de evenimente),
inzestrata cu o anumita structura matematica, si defineste pe aceasta
multime o functie cu anumite proprietati. Aceasta functie - numita probabilitate - este
de fapt o masura pe un camp de evenimente, cu valori in
intervalul [0,
1]. Puteti afla mai multe despre aceste notiuni in sectiunile
matematice ale acestui
site.
|
|

Blaise Pascal
(1623 - 1662)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

James Bernoulli (1654-1705)

Thomas Bayes (1702 - 1761)
Pierre Laplace (1749 - 1827)

Antoine Cournot (1801 - 1877)

Pafnuty Chebyshev (1821 - 1894)
|
|
Teoria probabilitatilor
Initial,
teoria probabilitatilor a avut ca origine modelul reprezentat de
jocurile de noroc, in special in Franta secolului al XVII-lea, fiind
inaugurata de corespondenta dintre Fermat si Pascal. Axiomatizarea sa
completa a trebuit să astepte insă lucrarea lui Kolmogorov Fundamentele
teoriei probabilitatilor, publicata in 1933.
Cu timpul, teoria probabilitatilor a gasit multiple modele in natura,
devenind o ramura a matematicii cu aplicatii din ce in ce mai numeroase.
In
fizica, teoria probabilitatilor a devenit un instrument de calcul de
baza, odata cu crearea termodinamicii si, mai tarziu, a fizicii
cuantice.
S-a constatat ca, in
lumea inconjuratoare, fenomenele deterministe ocupa doar o mica parte.
Imensa majoritate a
fenomenelor din natura si societate sunt stochastice (aleatoare,
modelabile probabilistic si statistic). Studiul acestora nu poate fi
facut pe cale determinista si, de aceea, stiinta hazardului a aparut ca
o necesitate.
Teoria probabilitatilor studiaza legile
după care evolueaza fenomenele aleatoare.
Iata
cateva exemple de fenomene aleatoare:
1. Cel mai
simplu exemplu este dat de experimentul care consta in aruncarea
zarului, rezultatul experimentului fiind dat de cifra aratată de zar la
oprire. Repetand experimentul de un numar de ori, nu putem prevedea care
va fi cifra aratata de zar dupa fiecare aruncare, deoarece aceasta
depinde de multi factori intamplatori (impulsul initial al zarului,
pozitia lui in momentul aruncarii, particularitatile suprafetei pe care
se rostogoleste, etc.)
2. O persoana face
zilnic drumul intre casa si locul de munca.
Timpul drumului nu este constant, ci
prezinta variatii datorate
factorilor intamplatori (trafic, conditii meteo, etc.)
3.
Nu se poate prevedea numarul de rateuri la un anumit
numar de trageri asupra unei tinte.
4.
Nu
stim dinainte care vor fi numerele ce se vor extrage la loto.
In aceste
experimente, conditiile esentiale ale experimentului raman neschimbate.
Toate variatiile au loc datorita unor factori secundari, care
influentează rezultatul experimentului.
Din
multitudinea factorilor care intervin in fenomenele studiate, ii vom
selectiona pe cei decisivi si vom neglija influenta factorilor
secundari. Aceasta metoda este uzuala in studiul fenomenelor fizice,
mecanice si in aplicatii tehnice.
Intamplarea si complexitatea, multitudinea cauzelor care intervin,
conduc la metode speciale de studiere a fenomenelor aleatoare, metode
elaborate de teoria probabilitatilor.
Aplicarea matematicii la studierea fenomenelor aleatoare se bazeaza pe
faptul ca, prin repetarea de mai multe ori a unui experiment, in
conditii practic identice, frecventa relativa a aparitiei unui anumit
rezultat (raportul dintre numarul experimentelor in care apare
rezultatul si numarul tuturor experimentelor efectuate) este aproximativ
acelasi, osciland in jurul unui numar constant.
Daca acest lucru se intampla, atunci unui eveniment dat
ii putem asocia un numar, anume probabilitatea sa. Aceasta legatura
intre structura unui camp de evenimente si numar este o reflectare in
matematica a transferului calitatii in cantitate. Problema convertirii
in numar a unui camp de evenimente revine la a defini o functie numerica
pe aceasta structura, care sa fie o masura a posibilitatilor de
realizare a evenimentelor.
Realizarea unui eveniment fiind probabila, aceasta functie se numeste
probabilitate.
Teoria probabilitatilor se poate aplica
numai acelor fenomene care prezinta o anumita stabilitate a frecventelor
relative in jurul probabilitatii (fenomene omogene de masa).
Aceasta este baza legaturii
teoriei probabilitatilor cu lumea reala, cu practica de toate zilele.
Deci, definitia stiintifica a probabilitatii trebuie sa reflecte, in
primul rand, comportarea reala a fenomenului.
Probabilitatea
nu este expresia gradului subiectiv de incredere a omului in producerea
evenimentului, ci caracterizarea legaturii obiectiv existente intre
conditii si eveniment, intre cauza si efect.
Probabilitatea unui eveniment are sens atata timp cat ansamblul de
conditii ramane neschimbat, orice modificare a acestor conditii atragand
dupa sine modificarea probabilitatii si deci modificarea legii
statistice a fenomenului.
Practic nu exista domenii stiintifice in care teoria probabilitatilor sa nu
fie aplicata. De asemenea, sociologia foloseste calculul probabilistic drept instrument
principal. Mai mult, unele domenii comerciale se bazeaza pe
probabilitati (printre altele, asigurari, pariuri, cazinouri).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Calculul probabilistic
Efectuarea unui calcul probabilistic inseamna a gasi
probabilitatea numerica a unui eveniment, prin aplicarea proprietatilor
probabilitatii si operarea calculelor pentru parametrii specifici
aplicatiei sau problemei respective.
Nu trebuie sa fiti matematician si nu trebuie sa
aprofundati notiunile teoriei probabilitatilor pentru a putea efectua
calcule probabilistice pentru aplicatii finite. Abilitatile de calcul
probabilistic pot fi dezvoltate prin procedee algoritmice. Singurele
lucruri care trebuie stiute dinainte sunt principalele definitii si un
set de formule. Si abilitatile de calcul combinatoric sunt binevenite.
In afara acestor cunostinte minime de teoria probabilitatilor si
combinatorica, singura cerinta pentru rezolvitorul care nu este
matematician este aceea de a stapani bine cele patru operatii cu numere
reale si calculul algebric de baza.
Teoretic, orice problema de calcul probabilistic, oricat de
complexa ar fi, poate fi descompusa in aplicatii succesive elementare
care utilizeaza formule de baza, insă de cele mai multe ori finalizarea
calculului poate fi anevoioasa sau chiar practic imposibila, ca sa nu
mai vorbim de riscul crescut al aparitiei greselilor in cadrul unei
succesiuni foarte lungi de calcule. Utilizarea combinatoricii sau chiar
a repartitiilor probabilistice clasice pot rezolva de multe ori in mod
simplu si elegant astfel de probleme in care rezolvarea "pas cu pas"
este prea anevoioasa si supusa erorilor de calcul.
Fiecare
solutie a unei aplicatii probabilistice se supune unui algoritm de baza,
care asigura in linii mari corectitudinea incadrării si abordarii
problemei de calcul, precum si a aplicarii rezultatelor teoretice.
Chiar daca metodele de rezolvare ale unei probleme pot fi multiple,
orice procedeu este aplicat in baza acestui algoritm general, care este
valabil pentru orice aplicatie probabilistica de tip finit sau discret.
Algoritmul de
rezolvare cuprinde trei etape principale:
incadrarea problemei (stabilirea
campului de probabilitate asociat experimentului,
prin definirea
textuala a evenimentelor de masurat),
stabilirea
procedeului teoretic (alegerea
metodei de lucru,
selectarea
formulelor care urmează a fi folosite)
si
calculul propriu-zis
(calcul aritmetic sau combinatoric si aplicarea formulelor).
Asa cum am mentionat, calculul probabilistic a fost dezvoltat pentru a
raspunde intrebarilor asupra fenomenelor aleatoare, inclusiv in jocurile
de noroc. Pentru ceea ce pare sa fie cel mai popular domeniu recreativ
din zilele noastre, anume jocurile de noroc (in special jocuri ca poker, ruleta,
blackjack, sloturi sau loto), teoria probabilitatilor a devenit o
necesitate incontestabila.
Resurse |
Vizitati sectiunea
Carti
pentru recomandari de carti bune pentru cititorii de nivel
mediu, care prezinta conceptul de probabilitate, interpretarile
si aplicatiile sale.
Aceste carti ajuta cititorul sa inteleaga ce inseamna de fapt
probabilitatea, il invata sa efectueze corect calcule
probabilistice, chiar si fara o formatie matematica solida, si
il stimuleaza pentru aprofundarea notiunilor intalnite. Veti
gasi material didactic de la A la Z pentru teoria
probabilitatilor, iar persoana practica va gasi toate
instrumentele necesare pentru efectuarea de calcul probabilistic
fara profesor. Puteti de asemenea naviga prin sectiunile acestui
site pentru fundamentele teoriei probabilitatilor si aplicatii,
inlclusiv in
jocurile de noroc. |
 |
|
|

Andrei Markov (1856 - 1922)

Emile Borel
(1871 - 1956)

Richard von Mises(1883 - 1953)

Andrei N. Kolmogorov (1903 - 1987)
|
|
|