|
Experimente, evenimente
Un experiment este un tip de
actiune care genereaza evenimente. Un exemplu de experiment este
aruncarea zarului. Realizarea unui experiment se numeste proba
sau test. Experimentele genereaza rezultate. Un experiment
poate avea mai multe rezultate, pe cand o proba poate avea un singur
rezultat.
Exemplu:
Experimentul de aruncare a zarului poate avea 6 rezultate (respectiv
numerele de la 1 la 6 notate pe fetele zarului).
Daca e este rezultatul unei
probe si A un eveniment legat de respectivul experiment, spunem
ca A se intampla daca e
apartine lui A si A nu se
intampla daca e nu apartine lui A.
Exemplu:
La aruncarea zarului, multimea tuturor rezultatelor posibile este {1, 2,
3, 4, 5, 6}. Iata cateva evenimente: A =
{1, 3, 5} (aparitia unui numar impar), B = {1, 2, 3, 4}
(aparitia unui numar mai mic decat 5), C = {2, 4, 6} (aparitia unui
numar par). Daca rezultatul probei este 3, au loc evenimentele A
si B.
Notam cu Ω
multimea tuturor rezultatelor posibile ale unui experiment si cu
P
(Ω)
multimea tuturor partilor lui Ω. Evenimentele
aleatoare sunt elemente ale multimii
P
(Ω).
Operatii si relatii intre
evenimente
Pe multimea Σ a
evenimentelor asociate unui experiment se pot introduce trei operatii
corespunzatoare operatiilor logice sau, si, non.
Fie A si B din Σ.
a) A sau B este evenimentul care se
realizeaza daca si numai daca se realizeaza cel putin unul dintre
evenimentele A sau B.
Acest eveniment se noteaza prin  si
se numeste reuniunea sau disjunctia evenimentelor A
si B.
b) A si B este evenimentul care se
realizeaza daca si numai daca se realizeaza ambele evenimente A
si B. Acest eveniment se noteaza prin  si
se numeste intersectia sau conjunctia evenimentelor A
si B.
c) non A este evenimentul care se
realizeaza daca si numai daca nu se realizeaza A. Acest eveniment
se numeste contrarul sau complementul lui A si se
noteaza  .
Daca evenimentele A si B
nu se pot intampla simultan, spunem ca A si B sunt
incompatibile sau exclusive si notam aceasta prin  .
Daca  ,
spunem ca A si B sunt colectiv exhaustive.
In multimea Σ
a evenimentelor asociate unui anumit experiment,
exista doua evenimente cu o semnificatie deosebita, anume evenimentele  si  .
Primul consta in realizarea evenimentului A
sau realizarea evenimentului ,
ceea ce are loc, evident, intotdeauna. Este
natural sa numim evenimentul Ω evenimentul
sigur. Evenimentul ϕ
consta in realizarea evenimentului A si
realizarea evenimentului ,
ceea ce nu poate avea loc niciodata. Acest
eveniment se numeste eveniment imposibil.
Fie evenimentele
A si B din Σ.
punem ca evenimentul
A
implica evenimentul B
si scriem  ,
daca atunci cand se intampla A se
intampla in mod necesar B.
Daca si
 ,
spunem ca evenimentele A si B
sunt echivalente si notam A = B.
Definitie:
Un eveniment A
din  se
numeste compus daca exista doua
evenimente B si
C din ,
astfel incat  si
 .
In caz contrar, evenimentul se numeste
elementar.
Exemplu:
In experimentul de aruncare a zarului:
– Evenimentul {3, 5} este compus, deoarece  ;
– Evenimentul {1, 2, 4} este compus, deoarece  ;
– Evenimentele {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} sunt elementare.
Algebre Boole
Definitie:
Se numeste algebra Boole o multime nevida
A,
in care sunt definite operatiile  ,
 ,
 si
fată de care sunt verificate urmatoarele axiome:
1.  ;
 (comutativitate);
2.  ;
 (asociativitate);
3.  (absorbtie);
4.  ;
 (distributivitate);
5.  ;
 (complementaritate),
pentru orice  A.
Axioma:
Multimea evenimentelor asociate unui experiment este o algebra Boole.
Exemplu:
Multimea partilor
P
(Ω) ale
multimii nevide Ω,
inzestrata cu operatiile de reuniune, intersectie si complementaritate
(fată de Ω)
capata o structura de algebra Boole.
Definitie:
Algebra Boole a evenimentelor asociate unui experiment se numeşte
campul de evenimente (corpul de evenimente) al experimentului
respectiv.
Deci campul de evenimente este o
multime de parti ale multimii rezultatelor posibile Ω,
cu o structura de algebra de evenimente Σ, notata
prin {Ω, Σ}.
Astfel, evenimentele pot fi reprezentate ca multimi si notatiile
operatiilor intre ele preluate din teoria multimilor sunt complet
justificate.
Trebuie sa retinem:
● evenimentele sunt obiecte matematice asimilate cu multimile;
● operatiile intre multimi sunt valabile si pentru evenimente;
● multimea evenimentelor asociate unui experiment are o structura
booleana relativ la operatiile si, sau si non;
● orice experiment are atasate o multime a rezultatelor posibile si un
camp de evenimente.
Cititi
urmatoarele definitii.
|
Resurse |
|
Cartea
CE SUNT SI CUM SE
CALCULEAZA SANSELE: Introducere in teoria probabilitatilor si ghid de
calcul pentru incepatori, cu aplicatii in jocurile de noroc si viata de
zi cu zi se adreseaza persoanelor fara formatie matematica
avansata si creaza o imagine clara a conceptului de probabilitate,
reconstruind pas cu pas
definitia sa matematica din notiunile constituente, incepand cu notiuni
fundamentale precum multimi, functii, convergenta si fundamente de
teoria masurii. Mai multe despre aceasta carte gasiti in
sectiunea Carti .
|
 |
|