|
Experimente, evenimente
Un experiment este un tip de
actiune care genereaza evenimente.
Un exemplu
de experiment este aruncarea zarului.
Realizarea
unui experiment se numeşte proba.
Experimentele genereaza rezultate. Un
experiment poate avea mai multe rezultate, pe cand o proba poate avea un
singur rezultat.
Experimentul
de aruncare a zarului poate avea 6 rezultate (respectiv numerele de la 1
la 6 inscrise pe fetele zarului).
Un
eveniment este o multime oarecare de rezultate prestabilite ale
unui experiment. Un eveniment se poate intampla sau nu in urma unui
experiment.
Daca
e este rezultatul unei probe si A un eveniment legat de
respectivul experiment, spunem ca A se intampla
daca
 si
A nu se intampla daca
 .
Exemplu:
La aruncarea zarului, multimea tuturor rezultatelor posibile este {1, 2, 3, 4, 5,
6}. Iata cateva evenimente: A = {1, 3, 5} – aparitia unui numar impar,
B =
{1, 2, 3, 4} – aparitia unui numar mai mic decat 5, C =
{2, 4, 6} – aparitia unui numar par. Daca rezultatul probei este
3, au loc evenimentele A si B.
Evenimentele se pot reprezenta ca multimi, deci putem
opera cu ele conform teoriei multimilor.
Notam cu Ω
multimea tuturor rezultatelor posibile ale unui experiment
si cu P
(Ω)
multimea tuturor partilor lui Ω.
Evenimentele aleatoare sunt elemente ale multimii P
(Ω).
Pe multimea
 a
evenimentelor asociate unui experiment se pot introduce trei operatii
corespunzatoare operatiilor logice sau, si, non.
Fie A, B .
a) A sau B
este
evenimentul care se realizeaza daca si numai daca se realizeaza cel
putin unul dintre evenimentele A sau B.
Acest eveniment se noteaza prin A B
si se numeste reuniunea evenimentelor A si B.
b) A si B este
evenimentul care se realizeaza daca si numai daca se realizeaza ambele
evenimente A si B.
Acest eveniment se noteaza prin A B
si se numeste intersectia evenimentelor A si B.
c) non A este
evenimentul care se realizeaza daca si numai daca nu se realizeaza A.
Acest eveniment se numeste contrarul (complementul) lui A si se
noteaza
 .
Daca AB
= ,
deci A si B nu se pot realiza simultan, spunem ca A
si B sunt evenimente incompatibile.
In mulţimea
a
evenimentelor asociate unui anumit experiment, exista doua evenimente cu
o semnificatie deosebita, anume evenimentele
 =
AA si
=
AA.
Primul
consta in realizarea evenimentului A sau realizarea evenimentului
A,
ceea ce are loc, evident, intotdeauna. Este natural sa numim
evenimentul
evenimentul
sigur.
Evenimentul
consta
in realizarea evenimentului A si realizarea evenimentului A,
ceea ce nu poate avea loc niciodata. Acest eveniment se va numi
eveniment imposibil.
Fie
evenimentele A, B.
Spunem ca evenimentul A implica evenimentul B si scriem
A B,
daca atunci cand se realizeaza A se realizeaza in mod necesar
B. Daca avem AB
si BA,
spunem ca evenimentele A si B sunt echivalente si notam
A = B (aceasta revine la egalitatea multimilor de probe care
corespund evenimentelor).
Definitie: Un
eveniment A este
compus daca exista doua evenimente B, C,
B A,
CA,
astfel incat A = BC.
In caz contrar, evenimentul se numeste elementar.
Definitie:
Se numeste algebra Boole o multime nevida
A,
in care sunt definite operatiile
,
,
si
fată de care sunt verificate urmatoarele axiome:
1. AB
= BA;
AB
= BA
(comutativitate),
2. A(BC)
= (AB)C;
A(BC)
= (AB)C
(asociativitate),
3.
(AB)A
= A; A(AB)
= A (absorbţie),
4. A(BC)
= (AB)(AC);
A(BC)
= (AB)(AC)
(distributivitate),
5. (A A)B
= B; (AA)B
= B (complementaritate), oricare ar fi A, B,
C
A.
Axioma
Multimea evenimentelor asociate unui experiment
este o algebra Boole.
Exemplu:
Multimea partilor
P
()
ale multimii nevide
,
inzestrata cu operatiile de reuniune, intersectie si complementaritate
(fată de
)
capata o structura de algebra Boole.
Definitie:
Algebra Boole a evenimentelor asociate unui experiment se numeşte
campul de evenimente (corpul de evenimente) al experimentului
respectiv. Deci campul de evenimente va fi o multime
inzestrata
cu o algebra de evenimente
si
se va nota prin  .
Trebuie
sa retinem:
- evenimentele sunt obiecte matematice asimilate
cu multimile;
- operatiile intre multimi sunt valabile si
pentru evenimente;
- multimea evenimentelor asociate unui experiment
are o structura booleana relativ la operatiile si, sau si non;
- orice experiment are atasate o multime a
rezultatelor posibile si un camp de evenimente.
Cititi urmatoarele definitii.
|
Resurse |
|
Cartea
CE SUNT SI CUM SE
CALCULEAZA SANSELE: Introducere in teoria probabilitatilor si ghid de
calcul pentru incepatori, cu aplicatii in jocurile de noroc si viata de
zi cu zi se adreseaza persoanelor fara formatie matematica
avansata si creaza o imagine clara a conceptului de probabilitate,
reconstruind pas cu pas
definitia sa matematica din notiunile constituente, incepand cu notiuni
fundamentale precum multimi, functii, convergenta si fundamente de
teoria masurii. Mai multe despre aceasta carte gasiti in
sectiunea Carti .
|
 |
|