Definitia clasica a probabilitatii

     Sa consideram o urna U care contine n bile, dintre care m albe si n – m negre. Se extrage la intamplare o bila. Avem n evenimente elementare. Fie A evenimentul “bila extrasa este alba”. Acest eveniment se poate realiza prin m probe, mn.

    Definitie: Se numeste probabilitatea evenimentului A, raportul dintre numarul situatiilor favorabile realizarii lui A si numarul situatiilor egal posibile. Deci: P = m / n.

    Aceasta este definitia clasict a probabilitatii. Ea se poate folosi numai in experimente cu evenimente elementare egal posibile.

     Probabilitate pe un camp finit de evenimente

In cazul unui camp oarecare finit de evenimente {Ω, Σ}, o probabilitate pe acest camp se defineste astfel:
    
     Definitie: Se numeste probabilitate pe , o functie P: R care satisface urmatoarele axiome:
     (1)  P(A)0, pentru orice A;
     (2)  P() = 1;
     (3)  P(AA) = P(A) + P(A), pentru orice A, A cu  AA=.

    Proprietatea 3 se extinde prin recurenta la orice numar finit de evenimente incompatibile doua cate doua.
     Deci, daca AA =,  ij,   i, j = 1, … , n, atunci:   P(A… ) = .

     Definitie: Numim camp de probabilitate finit, un camp finit de evenimente  inzestrat cu o probabilitate P, notat .

     Probabilitatea ca masura

Definitie: Se numeste -camp de evenimente un camp de evenimente  care poseda proprietatea de aditivitate numărabila: orice reuniune numarabila de evenimente din  este un eveniment din  (daca , atunci ).

Definitia corespunde definitiei tribului din teoria masurii.

Definitie: Fie  un -camp de evenimente. Numim probabilitate pe campul  o functie numerica pozitiva P, definita pe , care satisface urmatoarele conditii:
     1)
     2) , pentru orice familie numarabila de evenimente , incompatibile doua cate doua.
     Un -camp de evenimente  inzestrat cu o probabilitate P se va numi -camp de probabilitate si se va nota cu .

Cele doua conditii din definitia probabilitatii implica axiomele definitiei masurii. Probabilitatea este deci o masura P pentru care P(Ω) = 1, astfel ca ea va dobandi toate proprietatile unei măsuri.

    Probabilitatea ca limita
   
    Avem o teorema importanta care ilustreaza in fapt modul in care probabilitatea modeleaza hazardul. Vom enunta aici “Legea numerelor mari”, nu in forma ei matematica generala, pentru a evita definirea unor notiuni mai complexe, ci in mod particular, exemplificat, pe intelesul oricui. Enuntul particular este urmatorul rezultat clasic, cunoscut sub numele de Teorema lui Bernoulli:
    
    Frecventa relativa de aparitie a unui anumit eveniment intr-un sir de experimente independente converge catre probabilitatea acelui eveniment.
    
     Teorema spune ca daca A este un eveniment, (E) un sir de experimente independente, anumarul de aparitii ale evenimentului A dupa primele n experimente, atunci sirul (a/n) este convergent, iar limita sa este P(A) (a/n P(A)). Expresia a/n  se numeste frecventă relativa.

Vom exemplifica considerand experimentul clasic al aruncarii unei monede: Fie evenimentul A – “Moneda cade cu stema in sus”. Evident, P(A) = 1/2. Sa zicem ca evenimentul A a avut urmatoarele aparitii:
     - dupa prima aruncare, 0 aparitii, frecventa 0/1
     - dupa primele 2 aruncari, 0 aparitii, frecventa 0/2
     - dupa primele 3 aruncari, 1 aparitie, frecventa 1/3
     - dupa primele 4 aruncari, 1 aparitie, frecventa 1/4
     - dupa primele 5 aruncari, 2 aparitii, frecventa 2/5
     ……………………………………………………
    - dupa primele n aruncari, a aparitii, frecventa a/n.

Legea numerelor mari spune ca sirul 0, 0, 1/3, 1/4, …, a/n, … este convergent catre 1/2. Cu alte cuvinte, cu cat n creste, frecventa relativa il aproximeaza pe 1/2 cu o acuratete din ce in ce mai mare sau, altfel spus, exista un numar suficient de mare de experimente, astfel incat frecventa aparitiilor lui A sa aproximeze 1/2 cu oricate zecimale.
     Legea numerelor mari confera probabilitatii o proprietate de limita. Bineinteles, teorema nu ofera niciun fel de informatie asupra termenilor sirului de frecvente relative, ci doar asupra limitei sale. Altfel spus, nu putem face o predictie exacta asupra evenimentului la un anumit moment cronologic, ci putem cunoaste doar comportarea la infinit a frecventei aparitiilor.

In mare, trebuie retinut ca:

● Probabilitatea nu este nimic mai mult decat o masura; asa cum lungimea masoara distantele si aria masoara suprafetele, probabilitatea masoara evenimentele aleatoare; ca masura, probabilitatea este de fapt o functie cu anumite proprietati, definita pe campul evenimentelor generate de un experiment.

● O probabilitate este caracterizata nu numai de functia specifica P, ci de intreg ansamblul  multimea rezultatelor posibile ale experimentului – campul de evenimente generat – functia P, numit camp de probabilitate; probabilitatea nu are sens si nu o putem calcula decat daca definim anterior in mod riguros campul de probabilitate in care operam.

● Probabilitatea nu reprezinta o valoare numerica punctuala – dandu-se textual un eveniment, nu putem calcula probabilitatea acestuia fara a-l incadra intr-un camp de evenimente mai complex; probabilitatea ca număr este de fapt o limita, respectiv limita sirului de frecvente relative de producere a evenimentului de masurat, in cadrul unui sir de experimente independente.

   

Resurse

Cartea CE SUNT SI CUM SE CALCULEAZA SANSELE: Introducere in teoria probabilitatilor si ghid de calcul pentru incepatori, cu aplicatii in jocurile de noroc si viata de zi cu zi  se adreseaza persoanelor fara formatie matematica avansata si creaza o imagine clara a conceptului de probabilitate, reconstruind pas cu pas definitia sa matematica din notiunile constituente, incepand cu notiuni fundamentale precum multimi, functii, convergenta si fundamente de teoria masurii. Mai multe despre aceasta carte gasiti in sectiunea Carti .