Definitia clasica a probabilitatii
Sa consideram o urna U
care contine n bile, dintre care m albe si n – m
negre. Se extrage la intamplare o bila. Avem n evenimente
elementare. Fie A evenimentul bila extrasa este alba.
Acest eveniment se poate realiza prin m probe,
.
Definitie:
Se numeste probabilitatea evenimentului A,
raportul dintre numarul situatiilor favorabile realizarii lui A
si numarul situatiilor egal posibile. Deci: P = m / n.
Aceasta este definitia clasica, de
dictionar, a probabilitatii. Ea se poate folosi numai in experimente cu
evenimente elementare egal posibile.
Probabilitate pe un camp finit
de evenimente
In cazul unui camp oarecare finit
de evenimente {Ω, Σ}, o
probabilitate pe acest camp se defineste astfel:
Definitie:
Se numeste probabilitate pe Σ o functie
care
satisface urmatoarele axiome:
(1)
,
pentru orice
;
(2)
;(3)
,
pentru orice
pentru
care
.
Axioma (3) se extinde prin
recurenta la orice numar finit de evenimente incompatibile doua cate
doua. Deci, daca
,
(i,
j = 1, … , n), atunci
.
Definitie:
Numim camp de probabilitate finit, un camp finit de evenimente
{Ω, Σ}, inzestrat
cu o probabilitate P, notat {Ω,
Σ, P}.
Probabilitatea ca masura
Definitie:
Se numeste σ-camp de evenimente un camp de evenimente {Ω, Σ} care
poseda proprietatea de aditivitate numărabila: orice reuniune numarabila
de evenimente din Σ este un eveniment din Σ (daca
,
atunci
).
Definitia corespunde definitiei
tribului din teoria masurii.
Definitie:
Fie {Ω, Σ}
un σ-camp
de evenimente. Numim probabilitate pe campul {Ω, Σ}
o functie numerica pozitiva P, definita pe
Σ, care satisface urmatoarele conditii:
1) 
2)
,
pentru orice familie numarabila de evenimente
incompatibile
doua cate doua.
Un σ- camp de
evenimente{Ω, Σ} inzestrat
cu o probabilitate P se numeste
σ- camp de probabilitate si se noteaza {Ω,
Σ, P}.
Cele doua conditii din definitia
probabilitatii implica axiomele definitiei masurii. Probabilitatea este
deci o masura P pentru care P(Ω) =
1, astfel ca ea dobandeste toate proprietatile unei măsuri.
Probabilitatea ca limita
Avem o teorema importanta care
ilustreaza modul in care probabilitatea modeleaza hazardul. Vom enunta
aici Legea numerelor mari, nu in forma ei matematica generala,
pentru a evita definirea unor notiuni mai complexe, ci in mod
particular, exemplificat, pe intelesul oricui.
Enuntul particular este urmatorul rezultat clasic,
cunoscut sub numele de Teorema lui Bernoulli:
Teorema:
Frecventa relativa de aparitie a unui anumit
eveniment intr-un sir de experimente independente
converge catre probabilitatea acelui eveniment.
Teorema spune ca daca A este un
eveniment,
un
sir de experimente independente,
numarul
de aparitii ale evenimentului A dupa primele n
experimente, atunci sirul de numere non-negative
este
convergent, iar limita sa este P(A):

Expresia
se
numeste frecventa, iar expresia
se
numeste frecventă relativa.
Exemplu:
Consideram experimentul clasic al
aruncarii unei monede: Fie evenimentul A – Moneda cade cu
stema in sus. Evident, P(A) = 1/2.
Sa zicem ca evenimentul A a avut urmatoarele
aparitii:
- dupa prima aruncare, 0 aparitii,
frecventa relativa 0/1
- dupa primele 2 aruncari, 0
aparitii, frecventa relativa 0/2
- dupa primele 3 aruncari, 1
aparitie, frecventa relativa 1/3
- dupa primele 4 aruncari, 1
aparitie, frecventa relativa 1/4
- dupa primele 5 aruncari, 2
aparitii, frecventa relativa 2/5
……………………………………………………
– dupa
primele n
aruncari,
aparitii,
frecventa relativa
.
Legea numerelor mari spune ca sirul
obtinut la dreapta, anume 0, 0, 1/3, 1/4, 2/5, … este convergent catre
1/2. Cu alte cuvinte, cu cat n creste, frecventa relativa il
aproximeaza pe 1/2 cu o acuratete din ce in ce mai mare. Legea numerelor
mari confera probabilitatii o proprietate de limita. Bineinteles,
teorema nu ofera niciun fel de informatie asupra termenilor sirului de
frecvente relative, ci doar asupra limitei sale. Altfel spus, nu putem
face o predictie exacta asupra evenimentului la un anumit moment
cronologic, ci putem cunoaste doar comportarea la infinit a frecventei
aparitiilor.
Trebuie sa retinem:
●
Probabilitatea nu este nimic mai mult decat o masura; asa cum lungimea
masoara distantele si aria masoara suprafetele, probabilitatea masoara
evenimentele aleatoare; ca masura, probabilitatea este de fapt o functie
cu anumite proprietati, definita pe campul evenimentelor generate de un
experiment.
● O
probabilitate este caracterizata nu numai de functia specifica P,
ci de intreg ansamblul multimea rezultatelor posibile ale
experimentului – campul de evenimente generat – functia P, numit
camp de probabilitate; probabilitatea nu are sens si nu o putem calcula
decat daca definim anterior in mod riguros campul de probabilitate in
care operam. Cu alte cuvinte, putem spune si calcula probabilitatea ca
un jucator sa primeasca o anumita combinatie de carti la blackjack, dar
probabilitatea ca soarele sa nu mai rasara maine nu are sens,
deoarece un astfel de eveniment nu poate fi incadrat intr-o structura
booleana.
● Probabilitatea nu reprezinta o valoare numerica punctuala – dandu-se
textual un eveniment, nu putem calcula probabilitatea acestuia fara a-l
incadra intr-un camp de evenimente mai complex; probabilitatea ca număr
este de fapt o limita, respectiv limita sirului de frecvente relative de
producere a evenimentului de masurat, in cadrul unui sir de experimente
independente.
Resurse |
Cartea
CE SUNT SI CUM SE
CALCULEAZA SANSELE: Introducere in teoria probabilitatilor si ghid de
calcul pentru incepatori, cu aplicatii in jocurile de noroc si viata de
zi cu zi se adreseaza persoanelor fara formatie matematica
avansata si creaza o imagine clara a conceptului de probabilitate,
reconstruind pas cu pas
definitia sa matematica din notiunile constituente, incepand cu notiuni
fundamentale precum multimi, functii, convergenta si fundamente de
teoria masurii. Mai multe despre aceasta carte gasiti in
sectiunea Carti .
|
 |