Proprietati

Index | Definitii | Interpretari | Aplicatii | Jocuri de noroc | Software | Carti


 

Proprietati de baza ale functiei probabilitate

(P1)  Pentru orice , avem .

(P2)  .

(P3)  Pentru orice , .

(P4)  Pentru orice  cu , avem .

(P5)  Pentru orice , avem .

(P6)  Daca , , atunci

(P7)  Pentru orice , avem .

(P8)  Pentru orice , avem .
(P9)  Daca
, atunci .

Aceasta proprietate se mai numeste principiul de includere excludere.

(P10)  Fie  evenimente, cu . Atunci:

.

Proprietatile de mai sus reprezinta formule uzitate in calculul probabilitatilor pe un camp finit de evenimente. Proprietatea (P9) reprezinta formula de calcul de baza pentru aplicatiile cazurilor finite.

Proprietati ale probabilitatii pe un σ-camp

In plus, daca {Ω, Σ, P} este un σ-camp, avem urmatoarele proprietati:
(P11)   Pentru orice
sir de evenimente  cu  (descendent), avem  . Pentru orice sir de evenimente  cu  (ascendent), avem .

(P12)   Pentru orice sir de evenimente , avem .

(P13)   Daca sirul de evenimente  este convergent (), atunci  .
(P14)   In general,
. Avem egalitate numai daca evenimentele sunt disjuncte (incompatibile) doua cate doua.

Evenimente independente. Probabilitati conditionate

Sa consideram experimentul care consta in aruncarea a doua monezi si fie evenimentele: A obtinem stema pe prima moneda si B obtinem stema pe cea de-a doua moneda. In acest caz, realizarea evenimentului A si probabilitatea sa nu depind de realizarea evenimentului B si reciproc. Spunem in acest caz ca evenimentele A si B sunt independente.

Definitie:  Evenimentele A si B din campul de probabilitate {Ω, Σ, P} se numesc P-independente daca .

Exemplu: In exemplul anterior al experimentului de aruncare a doua monezi, avem: P(A si B) = P(A) x P(B) = (1/2) x (1/2) = 1/4.

Sa consideram o urna care contine 4 bile albe si 3 bile negre. Doua persoane extrag fiecare cate o bila din urna. Fie evenimentele A  prima persoana extrage o bila alba si B  a doua persoana extrage o bila alba. Probabilitatea evenimentului B in absenta informatiilor asupra lui A este 4/7Daca evenimentul A s-a realizat, probabilitatea evenimentului B este 1/2, astfel evenimentul B depinde de evenimentul A, deci cele doua evenimente nu sunt independente. Este natural sa numim probabilitatea evenimentului B ca fiind conditionata de evenimentul A si o notam  P(BA).

Definitie:  Fie {Ω, Σ, P} un σ-camp de probabilitate si  cu . Numim probabilitate a evenimentului A conditionată de evenimentul B, raportul .

Formula probabilitatii totale. Teorema lui Bayes

Definitie: Numim sistem complet de evenimente o familie finita sau numarabila de evenimente , cu  pentru orice ,  si .

Un sistem complet de evenimente este deci o partitie a multimii rezultatelor posibile Ω.

Exemplu: In experimentul de aruncare al zarului, sistemul {1, 2, 3}, {4, 5}, {6} este un sistem complet de evenimente, in timp ce {1, 2, 3}, {3, 4, 5}, {6} nu este, deoarece primele doua evenimente nu sunt disjuncte.

Teorema (formula probabilitatii totale):  Fie  un sistem complet de evenimente, cu . Pentru orice , avem .

Formula lui Bayes (teorema ipotezelor):  Fie  un sistem complet de evenimente. Probabilitatile acestor evenimente (ipoteze) sunt date inainte de efectuarea unui experiment. Experimentul efectuat realizeaza un alt eveniment A. Atunci,  , pentru orice .

 se numesc probabiliati marginale, iar  si  se numesc probabilitati conditionale.

Teorema lui Bayes este un rezultat important al teoriei probabilitatilor, care face legatura intre probabilitatile conditionala si marginala a doua evenimente aleatoare A si B. In unele interpretari ale probabilitatii, teorema lui Bayes ne arata cum sa ne actualizam sau revizuim gradul de incredere in lumina unor noi evidente.

    

 

 Resurse

Toate proprietatile probabilitatii, principalele rezultate si teoreme, inclusiv variabilele aleatoare discrete si distributiile clasice de probabilitate, impreuna cu exemple sugestive si aplicatii, sunt expuse intr-un mod comprehensibil in cartea CE SUNT SI CUM SE CALCULEAZA SANSELE: Introducere in teoria probabilitatilor si ghid de calcul pentru incepatori, cu aplicatii in jocurile de noroc si viata de zi cu zi, pe care o gasiti in sectiunea Carti .


  Index - Jocuri de noroc - Software - Carti - Contact