Avem urmatoarele proprietati ale functiei - probabilitate:

     (P1)  Pentru orice A, P(A) = 1 – P(A).
     (P2)  P() = 0.
     (P3)  Pentru orice A, avem 0 P(A) 1.
     (P4)  Pentru orice A, A cu A A, avem  P(A)P(A).
     (P5)  Pentru orice A, A, avem  P(A– A) = P(A) – P(AA).
     (P6)  Daca A A, A, A, atunci P(A– A) = P(A) – P(A).
     (P7)  Oricare ar fi A, A, avem P(AA) = P(A) + P(A) – P(AA).
     (P8)  Oricare ar fi A, A,  P(AA) P(A) + P(A).
     (P9)  Daca (A), atunci  P(A… ) =  –  +  + … + (–1) P(AA… A).
     Aceasta proprietate se mai numeste principiul de includere – excludere.
     (P10) Fie evenimentele (A) cu P(AA… A) 0. Atunci P(AA… A) = P(A) P(A/ A) P(A/ AA) … P(A/ AA… A).

      Proprietatile anterioare reprezinta formule uzitate in calculul probabilitatilor pe un camp finit de evenimente. Proprietatea (P9) reprezinta formula de calcul de baza pentru aplicatiile cazurilor finite.

      In plus, daca  este un -camp de probabilitate, avem urmatoarele proprietati:
     (P11)  Pentru orice sir de evenimente  pentru care  (descendent), avem  . Pentru orice sir de evenimente  pentru care  (ascendent), avem .
     (P12)  Pentru orice sir de evenimente , avem: .
     (P13)  Daca sirul de evenimente  este convergent (), atunci .
     (P14)  In general,  . Avem egalitate numai daca evenimentele sunt disjuncte doua cate doua.

     Evenimente independente. Probabilitati conditionate

Sa consideram experimentul care consta in aruncarea a doua monezi si fie evenimentele: A – “obtinem stema pe prima moneda” si B – “obtinem stema pe cea de-a doua moneda”. In acest caz, realizarea evenimentului A si probabilitatea sa nu depind de realizarea evenimentului B si reciproc. Spunem in acest caz ca evenimentele A si B sunt independente (unul fată de celalalt).

B

Conform acestei definitii, in exemplul anterior avem: P(A si B) = P(A) x P(B) = (1/2) x (1/2) = 1/4.

Sa consideram o urna care contine 4 bile albe si 3 bile negre. Doua persoane extrag fiecare cate o bila din urna. Fie evenimentele A – “prima persoana extrage o bila alba” si B – “a doua persoana extrage o bila alba”. Probabilitatea evenimentului B in absenta informatiilor asupra lui A este 4/7.  Daca evenimentul A s-a realizat, probabilitatea evenimentului B este 1/2, astfel evenimentul B depinde de evenimentul A, deci cele doua evenimente nu sunt independente.

Este natural sa numim probabilitatea evenimentului B ca fiind conditionata de evenimentul A si o notam  P(B│A).

Definitie: Fie  un -camp de probabilitate si  cu . Numim probabilitate a evenimentului A conditionată de evenimentul B, raportul  .

     Formula probabilitatii totale. Teorema lui Bayes
     Definitie: Numim sistem complet de evenimente o familie cel mult numarabila de evenimente , cu  pentru orice ,  si .

     Teorema (formula probabilitatii totale)
     Fie  un sistem complet de evenimente cu . Pentru orice , avem .

     Formula lui Bayes (teorema ipotezelor)
Fie un sistem complet de evenimente . Probabilitatile acestor evenimente (ipoteze) sunt date inainte de efectuarea unui experiment. Experimentul efectuat realizeaza un alt eveniment A. Formula lui Bayes arata cum realizarea evenimentului A modifica probabilitatile ipotezelor. Aceasta formula este:
 , pentru orice .

   
     Teorema lui Bayes este un rezultat important al teoriei probabilitatilor, care face legatura intre probabilitatile conditionala si marginala a doua evenimente aleatoare A si B. In unele interpretari ale probabilitatii, teorema lui Bayes ne arata cum sa ne actualizam sau revizuim gradul de încredere in lumina unor noi evidente.

Resurse

Toate proprietatile probabilitatii, principalele rezultate si teoreme, inclusiv variabilele aleatoare discrete si distributiile clasice de probabilitate, impreuna cu exemple sugestive si aplicatii, sunt expuse intr-un mod comprehensibil in cartea CE SUNT SI CUM SE CALCULEAZA SANSELE: Introducere in teoria probabilitatilor si ghid de calcul pentru incepatori, cu aplicatii in jocurile de noroc si viata de zi cu zi, pe care o gasiti in sectiunea Carti .