Proprietati de baza ale
functiei probabilitate
(P1) Pentru orice
,
avem .
(P2)
.
(P3) Pentru orice ,
.
(P4) Pentru orice
cu
,
avem .
(P5) Pentru orice
,
avem .
(P6) Daca
,
,
atunci 
(P7) Pentru orice
,
avem .
(P8) Pentru orice
,
avem
. (P9)
Daca ,
atunci  .
Aceasta proprietate se mai
numeste principiul de includere – excludere.
(P10) Fie
evenimente,
cu .
Atunci:
 .
Proprietatile de mai sus
reprezinta formule uzitate in calculul probabilitatilor pe un camp
finit de evenimente. Proprietatea (P9)
reprezinta formula de calcul de baza pentru aplicatiile cazurilor
finite.
Proprietati ale
probabilitatii pe un σ-camp
In plus, daca {Ω,
Σ, P} este un σ-camp,
avem urmatoarele proprietati: (P11) Pentru orice
sir de evenimente
cu
(descendent),
avem .
Pentru orice sir de evenimente
cu
(ascendent),
avem .
(P12) Pentru orice
sir de evenimente
,
avem .
(P13) Daca
sirul de evenimente
este
convergent ( ),
atunci . (P14) In general,
.
Avem egalitate numai daca evenimentele
sunt disjuncte (incompatibile) doua cate doua.
Evenimente independente.
Probabilitati conditionate
Sa consideram experimentul
care consta in aruncarea a doua monezi si fie evenimentele: A
– obtinem stema pe prima moneda si B – obtinem
stema pe cea de-a doua moneda. In acest caz, realizarea
evenimentului A si probabilitatea sa nu depind de realizarea
evenimentului B si reciproc. Spunem in acest caz ca
evenimentele A si B sunt independente.
Definitie:
Evenimentele A si B din campul de probabilitate {Ω,
Σ, P} se numesc P-independente
daca .
Exemplu:
In exemplul anterior al experimentului de aruncare a doua monezi,
avem: P(A si B) = P(A)
x
P(B) = (1/2)
x
(1/2) = 1/4.
Sa consideram o urna care
contine 4 bile albe si 3 bile negre. Doua persoane extrag fiecare
cate o bila din urna. Fie evenimentele A – prima persoana
extrage o bila alba si B – a doua persoana extrage o
bila alba. Probabilitatea evenimentului B in absenta
informatiilor asupra lui A este 4/7.
Daca evenimentul A s-a realizat,
probabilitatea evenimentului B este
1/2, astfel evenimentul B depinde
de evenimentul A, deci cele doua evenimente nu sunt
independente. Este natural sa numim probabilitatea evenimentului
B ca fiind conditionata de evenimentul A si o notam P(B│A).
Definitie:
Fie {Ω, Σ, P}
un σ-camp de probabilitate si
cu
.
Numim probabilitate a evenimentului A conditionată de evenimentul
B, raportul
.
Formula probabilitatii
totale. Teorema lui Bayes
Definitie:
Numim sistem complet de evenimente o familie finita sau
numarabila de evenimente
,
cu pentru
orice ,
si
.
Un sistem complet de
evenimente este deci o partitie a multimii rezultatelor posibile
Ω.
Exemplu:
In experimentul de aruncare al zarului, sistemul {1, 2, 3}, {4, 5},
{6} este un sistem complet de evenimente, in timp ce {1, 2, 3}, {3,
4, 5}, {6} nu este, deoarece primele doua evenimente nu sunt
disjuncte.
Teorema (formula probabilitatii
totale): Fie un
sistem complet de evenimente, cu
.
Pentru orice ,
avem .
Formula lui Bayes (teorema ipotezelor):
Fie un
sistem complet de evenimente. Probabilitatile acestor evenimente
(ipoteze) sunt date inainte de efectuarea unui experiment.
Experimentul efectuat realizeaza un alt eveniment A. Atunci,
,
pentru orice .
se
numesc probabiliati marginale, iar
si
se
numesc probabilitati conditionale.
Teorema lui Bayes este un
rezultat important al teoriei probabilitatilor, care face legatura
intre probabilitatile conditionala si marginala a doua evenimente
aleatoare A si B. In unele interpretari ale
probabilitatii, teorema lui Bayes ne arata cum
sa ne actualizam sau revizuim gradul de incredere in lumina unor noi
evidente.
Resurse |
Toate proprietatile probabilitatii, principalele rezultate
si teoreme, inclusiv variabilele aleatoare discrete si
distributiile clasice de probabilitate, impreuna cu exemple
sugestive si aplicatii, sunt expuse intr-un mod
comprehensibil in cartea
CE SUNT SI CUM SE
CALCULEAZA SANSELE: Introducere in teoria probabilitatilor si ghid de
calcul pentru incepatori, cu aplicatii in jocurile de noroc si viata de
zi cu zi, pe care o gasiti in sectiunea
Carti .
|
 |
|