Parametri si variabile ale modelelor probabilistice
Notam cu p numarul simbolurilor distincte ale aparatului de sloturi (). Daca aparatul are stopuri blank, blank-ul va fi considerat ca un simbol intre cele p. Parametrul p este specific fiecarui aparat.
Notam cu n lungimea unei linii de castig. Parametrul n este specific fiecarei linii de castig.
Orice aparat de sloturi este de unul din urmatoarele doua tipuri:
Tipul A – Toate rolele au aceeasi distributie de simboluri;
Tipul B – Rolele au numere diferite de stopuri si fiecare simbol are distributii diferite pe stopurile rolelor.
In cazul A, notam cu t numarul de stopuri ale fiecarei role si cu  distributia (numarul instantelor) simbolului  pe fiecare rola ();
In cazul B, notam cu  numarul de stopuri ale rolei cu numarul j si cu  distributia simbolului  pe rola cu numarul  j ( si ).
Fiind dat un anumit simbol , probabilitatea ca  sa apara pe o rola dupa o rotire este   in cazul A si  in cazul B, unde j este numarul acelei role. Probabilitatile , respectiv  se numesc probabilitati de baza in sloturi.

Combinatii castigatoare, evenimente la sloturi
Orice regula de castig pe o linie este exprimata printr-o combinatie de simboluri (spre exemplu, combinatia specifica     ) sau un tip de combinatii de simboluri (spre exemplu, orice simbol de tip bar de doua ori (any bar-symbol twice) sau orice tripla de simboluri), iar orice rezultat este o anumita combinatie de stopuri pe acea linie. Prin urmare, combinatia de stopuri trebuie luata in mod natural drept un eveniment elementar al campului de probabilitate. Avem  combinatii posibile de stopuri in cazul A si  combinatii posibile de simboluri pe o linie de castig de lungime n care traverseaza cele n role. In cazul B, avem acelasi numar  de combinatii posibile de simboluri si   combinatii posibile de stopuri ale acelei linii castig de lungime n.

Referitor la complexitatea evenimentelor in ceea ce priveste usurinta calculelor probabilistice, avem:

Evenimente simple. Acestea sunt evenimente legate de o singura linie, care sunt tipuri de combinatii de stopuri exprimate prin numere specifice de simboluri identice (instante). Spre exemplu,     pe o linie de castig de lungime 3 este un eveniment simplu, definit prin "doi septari si o portocala".

Evenimente complexe de tipul 1. Acestea sunt reuniuni de evenimente legate de o singura linie. Spre exemplu, evenimentul orice tripla pe o linie de castig de lungime 3 a unui aparat cu simboluri fructe este un eveniment complex de tipul 1, ca fiind reuniunea evenimentelor simple   ,    ,    , si asa mai departe (considerati toate simbolurile acelui aparat). Orice dubla sau doua cirese sau doua portocale sau cel putin o cireasa sunt de asemenea evenimente complexe de tipul 1.

Evenimente complexe de tipul 2. Acestea sunt evenimente care sunt tipuri de combinatii de stopuri exprimate prin numere specifice de simboluri identice, legate de mai multe linii. Spre exemplu,     pe liniile de castig 1, 3 sau 5 este un eveniment complex de tipul 2 exprimat prin "doi septari si o pruna". Evenimentul    pe cel putin o linie de castig  este tot un eveniment complex de tipul 2.

Evenimente complexe de tipul 3. Acestea sunt reuniuni de evenimente care sunt tipuri de combinatii de stopuri exprimate prin numere specifice de simboluri identice (precum evenimentele complexe de tipul 2), legate de mai multe linii. Spre exemplu, orice tripla pe liniile de castig 1 sau 2 este un eveniment complex de tipul 3. Cel putin o cireasa pe cel putin o linie de castig este tot un eveniment complex de tipul 3.

Formule generale ale probabilitatii evenimentelor de castig legate de o linie

Pentru un eveniment E legat de o linie de castig de lungime n, formula generala a probabilitatii lui E este:

             in cazul A si  in cazul B,     (1)

unde F(E) este numarul combinatiilor de stopuri favorabile producerii evenimentului E.

Pentru un eveniment E exprimat prin numarul instantelor fiecarui simbol pe o linie de castig in cazul A, formula (1) este echivalenta cu:

                             (2)

unde  este numarul instantelor lui , si asa mai departe,  este numarul instantelor lui  ().

Formula (2) poate fi aplicata direct pentru evenimente de castig definite prin distributia tuturor simbolurilor pe o linie de castig, in cazul A. Acestea sunt evenimente simple. Pentru evenimente mai complexe, trebuie sa aplicam formula generala (1), ceea ce revine la numararea combinatiilor de stopuri favorabile F(E) sau, in situatii particulare, aplicarea formulei (2) de mai multe ori, apoi adunarea rezultatelor.
In cazul B, numarul variabilelor este mai mare, de aceea majoritatea formulelor explicite din cazul B sunt supraincarcate. Consideram aici un singur tip particular de evenimente pentru care prezentam probabilitatea sa in functie de probabilitatile de baza, anume evenimentele exprimate printr-un numar de instante ale unui singur simbol. Daca E este evenimentul exact m instante ale lui S (), atunci:

                                         (3)

unde  si  sunt probabilitatile de baza (probabilitatea simbolului S de a aparea pe rola cu numarul  j, respectiv k).

Instrumente de calcul probabilistic pentru evenimente legate de mai multe linii
Pentru evenimente legate de mai multe linii, sunt folosite alte proprietati ale probabilitatii (de exemplu, principiul de includere-excludere), impreuna cu formulele (1) si (2) si cateva metode de aproximare necesare pentru usurinta calculului. Atunci cand estimam probabilitatea unui eveniment legat de mai multe linii, conteaza unele proprietati topologice ale acelui grup de linii, de exemplu independenta liniilor:

Numim doua linii independente daca nu contin stopuri ale aceleiasi role. Aceasta inseamna ca rezultatul pe una din linii nu depinde de rezultatul pe cea de-a doua si reciproc. Doua linii care nu sunt independente se numesc neindependente.

Pentru doua linii neindependente, rezultatul uneia este influentat (partial sau total) de rezultatul celeilalte. Definitia poate fi extinsa la mai multe linii (m), astfel: Numim m linii independente daca oricare doua dintre ele sunt independente. Din punct de vedere probabilistic, oricare doua sau mai multe evenimente, fiecare legat de o linie dintr-un grup de linii independente, sunt independente, in sensul definitiei de independenta a evenimentelor din teoria probabilitatilor.

Linii independente si  neindependente intr-un ecran 3 x 3 al unui aparat cu 9 role

In figura anterioara, liniile  si  sunt independente, in timp ce  si , precum si  si  sunt neindependente (pentru ultimele doua perechi, liniile au un stop in comun).

Linii neindependente intr-un ecran 4 x 5 al unui aparat cu 5 role

In figura anterioara, liniile  si ,  si ,  si , si deci , si sunt neindependente, deoarece in fiecare din grupurile mentionate avem stopuri ale aceleiasi role pe linii diferite. Intr-o astfel de configuratie, nu exista niciun grup de linii independente, indiferent de forma sau alte proprietati ale liniilor.

O consecinta imediata a definitiei liniilor independente este aceea ca daca doua linii se intersecteaza (adica au stopuri in comun), atunci ele sunt neindependente, deci orice grup care le contine va fi neindependent. O alta consecinta este aceea ca daca doua linii sunt independente, atunci acestea nu se intersecteaza.
Daca doua linii nu se intersecteaza, acestea nu sunt in mod necesar independente. Spre exemplu, considerati liniile  si   din ultima figura. Din contra, liniile  si  care nu se intersecteaza, in penultima figura, sunt independente.

Liniile neindependente (intersectate sau neintersectate) pentru care exista stopuri ne-comune apartinand aceleiasi role (precum liniile  si  in ultima figura) se numesc linii legate. Pentru evenimente legate de linii legate, estimarile probabilistice sunt posibile numai daca stim aranjamentele simbolurilor pe role, nu numai distributiile lor cantitative.

Toate probabilitatile au fost obtinute sub urmatoarele presupuneri:
- rolele se rotesc independent;
- o linie de castig nu contine doua stopuri ale aceleiasi role (traverseaza rolele fara a se suprapune peste acestea); aceasta revine la faptul ca orice m evenimente, fiecare legat de un stop al liniei de castig, sunt independente intre ele;
- fiecare rola contine p simboluri; aceasta este de fapt o conventie: daca un simbol nu apare pe o rola, putem lua distributia sa pe acea rola ca fiind zero.

Parametrii dati
Bineinteles, orice aplicatie practica poate fi finalizata numai daca stim dinainte parametrii aparatului respectiv, adica numerele de stopuri ale rolelor si distributia simbolurilor pe fiecare rola. Toate formulele probabilistice si tabelele de valori sunt in final inutile fara aceste informatii.
In cartea The Mathematics of Slots: Configurations, Combinations, Probabilities sunt explicate metode de estimare a acestor parametri bazate pe date empirice colectate prin observare statistica si masuratori fizice. Tinand cont de marjele de eroare necuantificabile ale acestor aproximari, orice informatie credibila privind acesti parametri trebuie sa prevaleze in fata acestor metode de estimare.
Departmentul de Matematica Aplicata al Infarom va lansa in curand proiectul Fisa de probabilitati pentru orice joc de sloturi, care se va ocupa de colectarea datelor statistice de la jucatorii de sloturi, rafinarea estimarilor cu noile date colectate si calculul probabilitatilor si al altor indicatori statistici atasati planului de castiguri ale aparatelor de sloturi, cu scopul de a genera fisa de probabilitati (PAR sheet) a oricarui joc de sloturi de pe piata. Contactati-ne cu subiectul "slots data project" daca doriti sa luati parte la acest proiect viitor.

Aplicatii practice si probabilitati numerice

Aceasta sectiune este dedicata rezultatelor practice, in care formulele generale sunt particularizate pentru a genera rezultate pentru cele mai cunoscute categorii de jocuri de sloturi si evenimente de castig. Rezultatele practice sunt prezentate atat ca formule specifice, gata de calcul la introducerea parametrilor jocului de sloturi, precum si rezultate numerice precalculate, acolo unde formulele specifice permit generarea de tabele de valori bidimensionale. Colectia de rezultate este valabila pentru combinatii castigatoare fara jokeri (wild symbols) si este partiala. Puteti gasi colectia completa a rezultatelor practice in cartea The Mathematics of Slots: Configurations, Combinations, Probabilities, pentru aparate de sloturi cu 3, 5, 9 si 16 role. 

Aparate de sloturi cu 3 role
Aparatele de sloturi cu 3 role pot avea urmatoarele configuratii ale ecranului: 1 x 3, 2 x 3, 3 x 3. Lungimea standard a unei linii de castig este 3. Cele mai cunoscute evenimente de castig pe o linie sunt:

Eveniment de castig	Cazul A	Cazul B
– Un anumit simbol de trei ori (de exemplu, (  ))	tabel	formula si tabele
– Orice simbol de trei ori (tripla)
– Un anumit simbol de exact doua ori (de exemplu, (  any))	tabel	formula si tabele
– Orice simbol de exact doua ori (dubla)
– Un anumit simbol exact o data (de exemplu, (  any  any))
– Orice combinatie de doua anumite simboluri  (de exemplu, (mix   & ) , adica (   ) sau (   ))	tabel	formula
– Orice combinatie de cel putin unul din trei anumite simboluri (de exemplu, (any bar  any bar  any bar ), cu trei simboluri de tip bar, precum  , ,  )	formula	formula

(Simbolurile din exemple sunt doar pentru a ilustra combinatiile castigatoare si pot fi inlocuite de simboluri cu orice grafica. Pentru aceiasi parametri ai aparatului, probabilitatile evenimentelor de mai sus sunt aceleasi, indiferent de grafica simbolurilor.)
Reuniuni de evenimente de castig pe o linie (disjunctii ale evenimentelor anterioare de la  la , operate cu sau):

Eveniment de castig	Cazul A	Cazul B
8.  Un anumit simbol de cel putin doua ori	tabel	formula si tabele
9.  Un anumit simbol cel putin o data
10.  Un anumit simbol de trei ori sau un alt anumit simbol de doua ori	tabel	formula
11.  Un anumit simbol de trei ori sau un alt anumit simbol o data
12. Un anumit simbol de trei ori sau un alt anumit simbol cel putin o data	tabel	formula
13.  Un anumit simbol de trei ori sau orice combinatie a acelui simbol cu un alt anumit simbol	tabel	formula
14.  Un anumit simbol de doua ori sau un alt anumit simbol o data
15.  Un anumit simbol de doua ori sau orice combinatie de cel putin unul din trei anumite simboluri

La un aparat de sloturi cu 3 role si ecran 2 x 3 sau 3 x 3, oricare doua linii de castig sunt legate; de aceea nu putem estima probabilitatile evenimentelor de castig legate de mai multe linii.

Aparate de sloturi cu 16 role
Aparatele de sloturi cu 16 role au de obicei configuratia 4 x 4 a ecranului. Lungimea standard a unei linii de castig este 4, dar aceasta poate avea si lungimea 3, 6, 7 sau 8. Aparatul de sloturi cu 16 role si ecran 4 x 4 poate avea de la 8 la 22 linii de castig de lungime 4, atfel: 4 orizontale, 4 verticale, 2 oblice (diagonale) saur 12 trapezoidale. Poate avea si 4 linii scara transversale de lungime 7, 12 linii scara dubla de lungime 6 sau 10 linii scara dubla de lungime 8. Poate avea si 4 linii oblice de lungime 3.

Cele mai cunoscute evenimente de castig pe o linie sunt:      

Eveniment de castig	Cazul A	Cazul B
– Un anumit simbol de patru ori (pe o linie de castig de lungime minim 4; de exemplu, (   ))	tabel	formula
– Orice simbol de patru ori (cvadrupla; pe o linie de castig de lungime minim 4)
– Un anumit simbol de exact trei ori (pe o linie de castig de lungime cel putin 3; de exemplu, (    any))	tabel	formula
– Orice simbol de exact trei ori (tripla) (pe o linie de castig de lungime cel putin 3)
– Orice combinatie de doua anumite simboluri (pe o linie de castig de lungime cel putin 3; de exemplu, (mix   & ) , adica (    ) sau (    ) sau (    ), pentru o line de castig de lungime 4)	tabele	formula
– Orice combinatie de cel putin unul din trei anumite simboluri (pe o linie de castig de lungime cel putin 3; de exemplu, (any bar  any bar  any bar  any bar), cu trei simboluri de tip bar, precum  , , , pentru o line de castig de lungime 4).

In tabel sunt inscrise probabilitatile evenimentelor de castig pe o linie de lungime 4.

Reuniuni de evenimente de castig pe o linie (disjunctii ale evenimentelor anterioare de la  la , operate cu sau):

Eveniment de castig	Cazul A	Cazul B
7.  Un anumit simbol de cel putin trei ori	tabel	formula
8.  Un anumit simbol de patru ori sau un alt anumit simbol de trei ori
9.  Un anumit simbol de patru ori sau un alt anumit simbol de cel putin trei ori	tabele	formula
10.  Un anumit simbol de patru ori sau orice combinatie a acelui simbol cu un alt anumit simbol	tabele	formula
11.  Un anumit simbol de trei ori sau orice combinatie de cel putin unul din trei anumite simboluri

Evenimente de castig pe mai multe linii
Pentru probabilitatile acestor evenimente, am considerat numai linii de castig de lungime 4 in cazul A.

1.1  Un eveniment de castig pe orice linie orizontala
1.2  Un eveniment de castig pe orice linie verticala
1.3  Un eveniment de castig pe orice linie orizontala sau verticala
1.4  Un eveniment de castig pe orice diagonala
1.5  Un eveniment de castig pe orice linie orizontala sau diagonala
1.6  Un eveniment de castig pe orice linie verticala sau diagonala
1.7  Un eveniment de castig pe orice linie orizontala, verticala sau diagonala
1.8  Un eveniment de castig pe orice linie trapezoidala stanga-dreapta
1.9  Un eveniment de castig pe orice linie orizontala sau trapezoidala stanga-dreapta

Tabel