|
Evenimente probabilistice in jocurile de noroc Procesele tehnice ale unui joc reprezinta experimente care genereaza evenimente aleatoare. Aruncarea zarurilor in jocul de craps este un experiment care genereaza evenimente precum aparitia anumitor numere, obtinerea unei anumite sume a numerelor aparute, aparitia unui numar cu anumite proprietati (mai mic decat un anumit numar, mai mare decat un anumit numar, par, impar, etc.). Multimea rezultatelor posibile atasată unui astfel de experiment este {1, 2, 3, 4, 5, 6} pentru aruncarea unui zar sau {(1, 1), (1, 2), ..., (1, 6), (2, 1), (2, 2), ..., (2, 6), ..., (6, 1), (6, 2), ..., (6, 6)} pentru aruncarea a doua zaruri. Ultima este o multime de perechi ordonate si are 6 x 6 = 36 elemente. Evenimentele pot fi identificate cu multimile, anume parti ale multimii rezultatelor posibile. Spre exemplu, evenimentul aparitia unui numar par in experimentul de aruncare a zarului este reprezentat de multimea {2, 4, 6}. Invartirea rotii unei rulete este un experiment ale carui evenimente generate pot fi aparitia unui anumit numar, a unei anumite culori sau a unei anumite proprietati a numerelor (mic, mare, par, impar, dintr-o anumita coloana, etc.). Multimea rezultatelor posibile atasată experimentului de invartire a rotii ruletei este multimea numerelor afisate pe ruleta: {1, 2, 3, ..., 36, 0, 00} pentru ruleta americana sau {1, 2, 3, ..., 36, 0} pentru ruleta europeana. Acestea sunt numerele inscrise pe roata ruletei si pe masa de joc. Evenimentul aparitia unui numar rosu este reprezentat de mulţimea {1, 3, 5, 7, 9, 12, 14, 16, 18, 19, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 36}. Impartirea cartilor la blackjack de catre crupier este un experiment care genereaza evenimente ca aparitia unei anumite carti sau unei anumite valori pentru prima carte primita, obtinerea unui anumit total valoric din primele doua carti primite, depasirea a 21 de puncte din primele trei carti primite, etc. In jocurile de carti intalnim multe tipuri de experimente si categorii de evenimente. Fiecare tip de experiment are propria sa multime a rezultatelor posibile. Spre exemplu, experimentul de distribuire a primei carti primului jucator are drept multime a rezultatelor posibile toata multimea celor 52 de carti (sau 104, daca se folosesc doua pachete). Experimentul de distribuire a celei de-a doua carti primului jucator are drept multime a rezultatelor posibile multimea tuturor celor 52 de carti (sau 104), mai putin prima carte distribuita. Experimentul de distribuire a primelor doua carti primului jucator are drept multime a rezultatelor posibile o multime de perechi ordonate, anume toate aranjamentele de 2 carti din cele 52 (sau 104). Intr-un joc de blackjack cu un singur jucator, evenimentul jucatorul primeste o carte de 10 puncte drept prima carte este reprezentata de multimea de carti {10♠, 10♣, 10♥, 10♦, J♠, J♣, J♥, J♦, Q♠, Q♣, Q♥, Q♦, K♠, K♣, K♥, K♦}. Evenimentul jucatorul obtine un total de cinci puncte din primele doua carti primite este reprezentat de multimea {(A, 4), (2, 3)} de combinatii a cate doua elemente din multimea valorilor cartilor, care de fapt numara 4 x 4 + 4 x 4 = 32 combinatii de carti (ca valoare si simbol). La loteria 6/49, experimentul de extragere a 6 numere din cele 49 genereaza evenimente precum aparitia a sase numere date, aparitia a cinci din sase numere date, aparitia a cel putin unui numar dintr-un grup de numere dat, etc. In acest experiment, multimea rezultatelor posibile este multimea tuturor combinatiilor de 6 numere din cele 49. In pokerul clasic, experimentul de distribuire a mainilor initiale de cinci carti genereaza evenimente ca: distributia unei anumite valori unui anumit jucator, distributia unei perechi la cel putin doi jucatori, distributia a patru carti cu simboluri identice cel putin unui jucator, etc. In acest caz, multimea rezultatelor posibile este multimea tuturor combinatiilor de 5 carti din cele ale pachetului folosit. Distribuirea a doua carti noi unui jucator care a decartat doua carti este un alt experiment, a carui multime a rezultatelor posibile este acum multimea tuturor combinatiilor de 2 carti din cele ale pachetului, mai putin cartile vazute de observatorul care rezolva problema probabilitatii. De exemplu, daca va aflati intr-un joc cu 52 de carti in situatia de mai sus si vreti sa calculati probabilitati privind mana dvs., multimea rezultatelor posibile la care trebuie sa va raportati este multimea tuturor combinatiilor de 2 carti din cele 52, fara cele 3 carti pe care le aveti in mana si fara cele 2 carti decartate. Astfel, această multime a rezultatelor posibile numara toate combinatiile de 2 carti din 47 (combinari de 47 luate cate 2). Toate aceste exemple izolate nu sunt cele mai reprezentative pentru jocurile respective. Ele sunt prezentate ca o introducere a ceea ce inseamna matematica jocurilor de noroc, anume modele probabilistice particulare, prin care poate fi aplicata teoria probabilitatilor pentru a obtine probabilitatile evenimentelor care ne intereseaza. Modele probabilitice in jocurile de noroc Un model probabilistic se bazeaza
pe un experiment si o structura matematica atasata acelui experiment,
anume campul de evenimente. Evenimentul este unitatea structurala cu
care lucreaza teoria probabilitatilor. In jocurile de noroc exista multe
categorii de evenimente si toate pot fi predefinite textual.
In exemplele anterioare de experimente din domeniul
jocurilor de noroc, am luat cunostintă cu cateva evenimente pe care
aceste experimente le genereaza. Ele reprezinta o parte infima a
multimii tuturor evenimentelor, care de fapt este multimea partilor
multimii rezultatelor posibile. Pentru un joc specific, evenimentele pot
fi de diverse tipuri: Fiecare categorie poate fi divizata mai departe in multe alte subcategorii, in functie de jocul la care se refera. Din punct de vedere matematic, aceste evenimente nu sunt altceva decat submultimi, iar campul de evenimente este o algebra Boole. Modelul matematic complet este dat de campul de probabilitate atasat experimentului, care este tripletul multimea rezultatelor posibile – campul de evenimente – functia probabilitate. Pentru orice joc de noroc, modelul probabilistic este de tipul cel mai simplu – multimea rezultatelor posibile este finita, campul de evenimente este multimea partilor multimii rezultatelor posibile, fiind implicit finita, iar functia probabilitate este data de definitia probabilitatii pe un camp finit de evenimente. Din aceasta definitie si axiomele algebrei Boole decurg toate proprietatile probabilitatii care pot fi aplicate in calculul probabilistic practic pentru jocurile de noroc. Orice eveniment predictibil din jocurile de noroc, indiferent cat de complex, poate fi descompus in evenimente elementare, ca reuniune de multimi. Spre exemplu, considerand evenimentul jucatorul 1 primeste o pereche intr-un joc de Texas Hold’em inainte de flop, acest eveniment este reuniunea tuturor combinatiilor de tipul (xx), x fiind orice valoare de la 2 la A. Fiecare astfel de combinatie (xx) este la randul sau o reuniune a evenimentelor elementare (x♣ x♠), (x♣, x♥), (x♣, x♦), (x♠, x♥), (x♠, x♦) si (x♥, x♦), toate fiind egal posibile. Intreaga reuniune numara 13C(4, 2) = 78 evenimente elementare (combinatii de 2 carti, ca valoare si simbol). Exista de asemenea aplicatii in jocuri de noroc in care intervin evenimente legate de jocul de cursa lunga, ale caror modele probabilistice pot fi alese dintre distributiile probabilistice clasice, precum bernoulliana, Poisson, polinomiala, sau hipergeometrica. Calculul probabilistic in jocurile de noroc Calculul probabilistic inseamna de fapt utilizarea tuturor proprietatilor probabilitatii cu scopul de a obtine formule explicite ale probabilitatilor evenimentelor de masurat si de a le aplica in circumstante date pentru a obtine un rezultat final numeric. Principiul de baza care face calculul probabilistic aplicabil in jocurile de noroc este acela ca orice eveniment compus poate fi descompus in evenimente elementare egal posibile, apoi proprietatile si formulele probabilitatii pot fi aplicate acestuia pentru a-i afla probabilitatea numerica. In afara proprietatilor de baza ale probabilitatii, formulele distributiilor probabilistice clasice sunt de un real ajutor pentru unele evenimente de joc complexe. In majoritatea calculelor probabilistice in jocuri de noroc, aplicarea formulelor se reduce la calculul combinatoric, care este un instrument esential pentru acest tip de aplicatii. Cea mai grea sarcina a matematicianului care efectueaza calcul probabilistic este aceea de a obtine formule probabilistice explicite in forma algebrica, care sa exprime probabilitatile cautate. Speranta matematica Modelul matematic al unui joc de noroc nu implica numai probabilitati, dar si alti parametri si indicatori statistici, dintre care speranta matematica este cel mai important. In jocurile de noroc, probabilitatile sunt asociate cu mizele puse in joc, cu scopul de a prevedea castiguri sau pierderi medii in viitor. Un astfel de castig sau pierdere prevazute pe baza probabilitatilor se numeste sperantă matematica sau valoare medie si este suma produselor dintre probabilitatea fiecarui rezultat posibil si castigul sau specific (cota de plata inmultita cu miza). Astfel, speranta matematica reprezinta suma medie pe care un jucator se asteapta sa o castige pentru un anumit pariu repetat de mai multe ori. Spre exemplu, o ruleta americana
are 38 de rezultate egal posibile. Presupunem ca un pariu plasat pe un
numar are cota de plată 35 la 1 (insemnand ca jucătorul este platit de
35 de ori suma mizata, iar miza este si ea returnata, astfel ca
jucatorul primeste de 36 de ori suma mizata).
Astfel, speranta matematica a profitului rezultat din parierea repetata
a unui dolar pe un numar este
Definitie: Dacă X
este o variabilă aleatoare discretă cu valorile
Astfel, speranta matematica este o medie ponderata, in sensul definitiei de mai sus. In termeni ai jocurilor de noroc, aceasta valoare reprezinta suma (pozitiva sau negativa) pe care un jucator se asteapta sa o castige, daca efectueaza acelasi tip de experiment (joc sau situatie de joc) in conditii identice si prin plasarea aceluiasi pariu, luand in calcul probabilitatea matematica. Valoarea negativa a sperantei matematice este un semn ca acel pariu este profitabil pentru casa, asigurandu-i marja de castig. In practica, speranta matematica este un parametru statistic asociat oricarui pariu care are o probabilitate calculabila si un coeficient de castig, chiar daca un jucator nu poate rula acel pariu de o infinitate de ori. Impreuna cu probabilitatea, speranta matematica reprezinta un criteriu de decizie in jocuri si pariuri cu coeficienti de castig specifici. Rolul probabilitatii in strategiile jocurilor de noroc Termenul de strategie are sens numai daca se refera atat la joc, cat si la jucator. Aceasta deoarece jucatorul este cel care creaza si aplica o strategie, in functie de propriile sale scopuri. Printre toate criteriile din cadrul unei strategii, exista criterii personale subiective legate de profilul jucatorului, dar si criterii obiective, dintre care probabilitatea este cel mai important. A actiona intr-un anume mod intr-o situatie de joc particulara, bazandu-ne pe evaluarea si compararea de sanse/probabilitati inseamna a lua o decizie bazata pe probabilitate, ca fiind cea mai obiectiva masura a posibilitatii de care dispunem. Acestea pot fi decizii legate de situatii de joc in cadrul unui singur joc, dar si decizii de alegere a unui joc sau altul, parasire a unui joc pentru un altul sau chiar renuntare la joc. Chiar daca sunt obiective, criteriile care stau la baza unor astfel de decizii pot avea o componenta subiectiva, anume pragul de risc acceptat. Acest parametru este o probabilitate medie la care fiecare jucator face referire atunci cand ia decizii in privinta actiunii urmatoare si reprezinta nivelul probabilitatii de esec pe care jucatorul este dispus sa il ignore, ramanand in joc. Un criteriu general care foloseste pragul de risc acceptat intr-o strategie de joc ar fi urmatorul: "Daca sansele ca edversarii (sau casa) sa ma bata (sa dobandeasca un avantaj asupra mea) la momentul t sunt mai mari decat p, atunci ma retrag (stau, arunc, etc.).”. Pragul de risc acceptat este p, iar valoarea lui p difera de la un jucator la altul, de la un joc la altul, si se poate schimba chiar in timpul aceluiasi joc, pentru acelasi jucator. O strategie bazata pe probabilitate consta in (si este definita ca) decizii rezultand din evaluarea si compararea rezultatelor probabilistice. Matematica a demonstrat faptul ca o strategie bazata pe probabilitate este optima in randul altor tipuri de strategii, in ceea ce priveste dobandirea avantajului in timpul jocului, la finalul sau si in jocul de cursa lunga. Exista strategii pentru orice joc de noroc, fie jucat cu adversari sau impotriva casei, si acestea pot fi bazate pe probabilitate. In timp ce in jocuri precum poker strategia include interactiunea cu adversarii si se aplica fiecarei runde (iar probabilitatea este esentiala in evaluarea puterii unei maini), in jocuri simple precum loteria sau sloturi singura strategie este cea de alegere (alegerea numerelor jucate si a frecventei de joc la loterie, sau alegerea unui joc de sloturi, a numarului de linii de castig activate, sau alegerea de a nu juca un anumit joc de sloturi), iar aceasta strategie poate fi bazata de asemenea pe probabilitate.
|
|